Представљање бројева и рачунање са различитим основама¶
Подсетимо се, на почетку, ове табеле са претходног часа:
У првих осам колона налазе се цифре бинарних бројева, а у последњој колони су декадни бројеви. Да бисмо лакше објаснили поступак одређивања записа у једном систему на основу записа у другом и рачунање у различитим системима, уведимо најпре договор да се поред броја, у „индексу“ у загради пише основа бројевног система у којем је број записан. Ово је потребно јер у противном не бисмо знали вредност датог записа (на пример, ако само напишемо 10, то је у декадном систему десет, а у бинарном два).
На пример, број пет бисмо записали овако:
Претварање бројева из једне у другу основу
За претварање бројева из веће основе у мању користи се дељење са остатком (зове се још и целобројно дељење):
7:2 је 3 и остатак је 1
То се може записати и овако:
7:2=3(1)
Хајде мало да то најпре провежбаш:
Поступак претварања декадног у бинарни број може се описати овако…
.… подели декадни број са 2, запиши количник и остатак подели количник са 2, запиши нови количник и остатак подели количник са 2, запиши нови количник и остатак.
Овај поступак се понавља док количник не буде нула, а онда се од остатака, пишући их од последњег до првог, формира бинарни запис броја.
Пример:
53:2 = 26(1)
26:2 = 13(0)
13:2 = 6(1)
6:2 = 3(0)
3:2 = 1(1)
1:2 = 0(1)
Из бинарног записа се добија декадни тако што разложимо број, као у претходној лекцији:
Обрати пажњу на то да су бројеви 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024… степени двојке. Ове бројеве ћеш често сретати, није лоше да запамтиш овај низ.
Раније смо у тексту споменули да се октални и хексадекадни записи користе јер се лако преводе у бинарни и обратно, а човеку је лакше да барата краћим записима у којима се појављује више различитих цифара, него са огромним низовима нула и јединица.
Ево примера како се лако врши превођење између бинарног и хексадекадног записа. Пошто се у хексадекадним записима користи 16 цифара, за цифре веће од 9 се користе слова:
Погледај примере (бинарне цифре ћемо писати у групама по четири, ради лакше читљивости):
\(97_{(10)} = 0110 \ 0001_{(2)} = 61_{(16)}\)
\(13046_{(10)} = 0011 \ 0010 \ 1111 \ 0110_{(2)} = 32F6_{(16)}\)
Да ли уочаваш законитост?
Преведи ове бројеве у задате системе:
а) Претвори из декадног у бинарни систем бројеве 8, 10, 255, 356, 1000, 1024
б) Претвори из бинарног у декадни систем бројеве 10, 101, 1000, 11 0100 1101
в) Претвори из бинарног у хексадекадни систем бројеве 10, 1000, 10 0000, 11 0100 1101
г) Претвори из хексадекадног у бинарни систем бројеве ABC, 4D, F55, 356, 1000, 1024
а) 1000, 1010, 1111 1111, 10110 0100, 11 1110 1000, 100 0000 0000
б) 2, 5, 8, 845
в) 2, 8, 20, 34D
г) 1010 1011 1100, 100 1101, 1111 0101 0101, 11 0101 0110, 1 0000 0000 0000, 1 0000 0010 0100
Рачунске операције са бинарним записима
Као и са декадним записима, и са бинарним се могу вршити рачунске операције:
Сабирамо и одузимамо потписивањем:
Код сабирања бројева у декадном запису знамо да, кад добијемо збир одговарајућих цифара већи или једнак 10 (што је основа декадног система), записујемо цифру коју добијамо када од добијеног збира одузмемо 10 (основу), а 1 „памтимо“ и додајемо првом следећем пару цифара (лево од текућих).
Код одузимања са потписивањем “позајмимо“ од цифре која је за једну месну вредност више (лево) од цифара које одузимамо. Цифру од које позајмљујемо умањујемо за 1, а ону којој позајмљујемо увећавамо за 10 (што је основа декадног бројевног система).
Сабирање и одузимање у осталим бројевним системима се врше на исти начин, с тим што, ако код сабирања има преноса (ако је добијени збир цифара већи или једнак основи), записујемо број који добијамо када од добијеног збира одузмемо основу (2, односно \(10_{(2)}\) кад је реч о бинарним записима), а 1 пребацујемо на следећу позицију. Код одузимања се позајмљивање врши тако што се од цифре веће месне вредности позајмљује 1, тј. цифра од које смо позајмили се умањује за 1, a цифри од које тренутно одузимамо се додаје основа (2 односно \(10_{(2)}\) кад је реч о бинарним записима). Заправо, поступак је у било ком бројевном систему практично исти - пребацујемо кад збир буде једнак основи и више, само водимо рачуна да останемо у дозвољеном скупу цифара! Пробајте!
Ако сте били успешни у сабирању и одузимању, пробајте множење и дељење! Забавно је - исти је поступак, али мораш да мислиш које су дозвољене цифре у одабраном систему!